||||{ 凸体の付値

(1)

構造数理特別講義

I

————–

凸体の付値

田崎博之

2013

年度

(2)

はしがき

i

はしがき

この講義ノートは新潟大学で行った集中講義の内容である。基本的には

2009

年度と

2011

年度に筑波大学で行った講義のノートに基づいているが、いくつかの部分ではより詳しい説明に差し替えた。さらにこれらの講義ノートは以下の文献を参考にした。

• H. Groemer, On the extension of additive functionals on classes of convex sets, Paciﬁc J. Math., 75 (1978), 397–410.

• D. Klain and G.-C. Rota, Introduction to geometric probability, Cambridge University Press, 1997.

• R. Schneider, Convex bodies: The Brunn-Minkowski theory, Cambridge Univ. Press, 1993

また講義中に印南信宏先生から指摘を受けた不十分な部分も修正した。これらのご指摘と集中講義の機会をいただいたこと、および新潟滞在中にいろいろとお世話になったことについて印南先生に感謝したい。

この講義では、平面や空間の線分、凸多角形、凸多面体の長さ、面積、体積などの幾何学的量に関する解説をした。より詳しく言うと、これらの図形の有限個の合併について定まる付値と呼ばれる有限加法的な測度を扱った。単体複体の

Euler

数もその例の一つである。さらにこれらの図形の量が積分を通していろいろな関係を持っていることも解説した。

なお、講義では各種

Groemer

の定理の詳しい証明は与えなかったが、この講義ノートには詳しい証明を掲載した。また、付値としての

Euler

数と単体複体の

Euler

数の関係について講義では大まかな説明にとどめたが、この講義ノートには詳しい説明を掲載した。

(3)

第 1 _{章付値と積分}

1.1

_付値

定義

1.1.1

集合

S

の部分集合全体を

P (S)

で表す。

L ⊂ P (S)

が空集合を含み有限個の合併と共通部分に関して閉じているとき、Lを束と呼ぶ。束

L

上定義された実数値関数

µ

が次の条件を満たすとき、L上の付値と呼ぶ。

µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) − µ(A ∩ B) (A, B ∈ L), (1.1.1)

µ( ∅ ) = 0.

(1.1.2)

例

1.1.2

集合

S

の有限部分集合全体を

P

₀

(S)

で表す。

P

₀

(S) ⊂ P (S)

となり、

P

₀

(S)

は束になることもわかる。さらに、A

∈ P

₀

(S)

に対して

A

の元の個数

#A

を対応させる関数は

P

₀

(S)

上の付値になる。

例

1.1.3 R

の有界閉区間の有限個の合併全体を

I(1)

で表す。

I(1)

の元

A

は互いに素な有界閉区間の合併で一意的に表される。これら有界閉区間の長さの和を

µ

1

(A)

で表すと、µ1は

I(1)

命題

1.1.4

束

L

上の付値

µ

は次の等式を満たす。

(1.1.3) µ(A

1

∪ · · · ∪ A

n

) =

∑

n k=1

( − 1)

^k⁻¹

∑

i1<···<ik

µ(A

i1

∩ · · · ∩ A

i_k

) (A

i

∈ L).

この等式を包除原理または包除公式と呼ぶ。

上の命題はすべての自然数

n

とすべての

A

₁

, . . . , A

_n

∈ L

について上の等式が成り立つことを主張している。さらに右辺は

k = 1

から

n

の各

k

について

{ 1, . . . , n }

から

k

個とりだした元を

i

₁

< · · · < i

_kと並べて

µ(A

_i₁

∩ · · · ∩ A

_i_k

)

をすべての

k

個のとりだし方について和をとり、それをさらにすべての

k

について和をとっている。各自然数

n

についてこの等式を詳しくみてみよう。n

= 1

のときは、任意の

A

₁

∈ L

に対して

µ(A

₁

) = µ(A

₁

)

であり、これは自明である。n

= 2

A

1

, A

2

∈ L

に対して

µ(A

₁

∪ A

₂

) = µ(A

₁

) + µ(A

₂

) − µ(A

₁

∩ A

₂

)

(5)

であり、これは

(1.1.1)

に一致する。n

= 3

A

₁

, A

₂

, A

₃

∈ L

に対して右辺の

k = 1

の和は

µ(A

1

) + µ(A

2

) + µ(A

3

).

k = 2

の和は

− µ(A

₁

∩ A

₂

) − µ(A

₁

∩ A

₃

) − µ(A

₂

∩ A

₃

).

k = 3

の和は

µ(A

1

∩ A

2

∩ A

3

).

以上より、

µ(A

₁

∪ A

₂

∪ A

₃

)

=µ(A

₁

) + µ(A

₂

) + µ(A

₃

) − µ(A

₁

∩ A

₂

) − µ(A

₁

∩ A

₃

) − µ(A

₂

∩ A

₃

) + µ(A

₁

∩ A

₂

∩ A

₃

)

である。n

≥ 3

のときに等式を証明する必要がある。

包除公式の左辺は集合の合併の付値の値であり、右辺は集合の共通部分の付値の値だけの和と差になっていることに注意しておく。

証明

n = 3

のときは、最初に

A

₁

∪ A

₂

∈ L

と

A

₃

∈ L

に

(1.1.1)

を適用する。

µ(A

₁

∪ A

₂

∪ A

₃

) = µ(A

₁

∪ A

₂

) + µ(A

₃

) − µ((A

₁

∪ A

₂

) ∩ A

₃

)

=µ(A

₁

) + µ(A

₂

) − µ(A

₁

∩ A

₂

) + µ(A

₃

) − µ((A

₁

∩ A

₃

) ∪ (A

₂

∩ A

₃

))

=µ(A

₁

) + µ(A

₂

) − µ(A

₁

∩ A

₂

) + µ(A

₃

)

− { µ(A

₁

∩ A

₃

) + µ(A

₂

∩ A

₃

) − µ(A

₁

∩ A

₂

∩ A

₃

) }

=µ(A

₁

) + µ(A

₂

) + µ(A

₃

) − µ(A

₁

∩ A

₂

) − µ(A

₁

∩ A

₃

) − µ(A

₂

∩ A

₃

) + µ(A

1

∩ A

2

∩ A

3

)

となり

(1.1.3)

は成り立つ。一般の

n

のときは、nに関する帰納法で等式

(1.1.3)

を証明する。nのとき成り立つと仮定して

n + 1

の場合も成り立つことを示そう。

µ(A

₁

∪ · · · ∪ A

_n+1

)

=µ(A

1

∪ · · · ∪ A

n

) + µ(A

n+1

) − µ((A

1

∪ · · · ∪ A

n

) ∩ A

n+1

)

=

∑

n k=1

( − 1)

^k⁻¹

∑

i1<···<ik

µ(A

_i₁

∩ · · · ∩ A

_i_k

) + µ(A

_n+1

)

− µ((A

₁

∩ A

_n+1

) ∪ · · · ∪ (A

_n

∩ A

_n+1

))

=

∑

n k=1

( − 1)

^k⁻¹

∑

i1<···<ik

µ(A

_i₁

∩ · · · ∩ A

_i_k

) + µ(A

_n+1

)

−

∑

n l=1

( − 1)

^l⁻¹

∑

j1<···<jl

µ(A

_j₁

∩ · · · ∩ A

_j_l

∩ A

_n+1

)

(6)

1.1.

付値

3 =

∑

n+1 k=1

( − 1)

^k−1

∑

i1<···<ik

µ(A

_i₁

∩ · · · ∩ A

_i_k

).

定義

1.1.5

集合

S

の部分集合族

G ⊂ P (S)

が有限個の共通部分に関して閉じていると仮定する。ただし、共通部分が空集合でなければ

G

の元になるときに、Gは

“有限個の共通部分に関して閉じている”

ということにする。G

∪ {∅}

上の実数値

関数

ν

が、A, B, A

∪ B ∈ G

を満たすすべての

A, B

に対して

(1.1.1)

と

(1.1.2)

を満たすとき、νを

G

上の付値と呼ぶ。

注意

1.1.6

付値の定義

(定義 1.1.5)

において

G

は合併について閉じているわけではないので、すべての

A, B ∈ G

について

(1.1.1)

が意味を持つとは限らないことに注意しておく。

この講義の主な対象である

R

ⁿ内のコンパクト凸集合すなわち凸体の全体は有限個の共通部分に関しては閉じているが、有限個の合併に関しては閉じていない。その凸体全体上で付値を考えるため、束ではない部分集合族上の付値を定義している。凸体の全体を距離空間として考えるときは空集合を含めないが、付値を考えるときには付値の定義域に空集合を含める必要があるので上のように付値を定義した。

補題

1.1.7

集合

S

の部分集合族

G

が有限個の共通部分に関して閉じていると仮定

する。Gの元の有限個の合併全体

L

は束になる。

証明

L

が有限個の合併に関して閉じていることは定め方からわかる。Lが有限個の共通部分に関して閉じていることを示す。Lが二つの元の共通部分に関して閉じていることを示せば十分である。Ai

, B

_j

∈ G

に対して

(

_k

∪

i=1

A

_i

)

∩ (

_l

∪

j=1

B

_j

)

= ∪

i,j

(A

_i

∩ B

_j

)

となり、各

A

_i

∩ B

_jは

G

に含まれるかまたは空集合になるため、上記共通部分は

L

に含まれる。

定義

1.1.8

補題

1.1.7

における

G

は

L

を生成するといい、L

= [G]

と表す。

注意

1.1.9

有限個の共通部分に関して閉じている

G

上の付値が、束

[G]

上の付値

に拡張できるかどうかが問題になる。そのための必要十分条件を与えるのが次の節の主題である。次の例

1.1.10

は、有限個の共通部分に関して閉じている

G

上の付値が束

[G]

上の付値に拡張できない例を与えている。

例

1.1.10 S = { 1, 2, 3 } , G = {{ 1 } , { 2 } , { 3 } , { 1, 2, 3 }} ⊂ P (S)

として、

λ(X) = {

0 (X = ∅ ), 1 (X 6 = ∅ )

によって

G ∪ {∅}

上の関数

λ

を定める。このとき、以下が成り立つ。

(7)

(1) G

は有限個の共通部分に関して閉じている。

(2) λ

は

G

(3) [G] = P (S)

が成り立つ。

(4) λ

を

[G]

上の付値には拡張できない。

問題

1.1.11 S

を一つの集合とし、

L ⊂ P (S)

を束とする。

L

上の付値の全体

Val(L)

は自然な加法と実数倍に関して実ベクトル空間になることを示せ。

問題

1.1.12 S

を一つの集合とする。このとき、以下を示せ。

(1) P

₀

(S)

は束になる

(例 1.1.2)。

(2) f

を

S

上定義された実数値関数とする。

λ

_f

(X) = ∑

x∈X

f (x) (X ∈ P

₀

(S))

によって

λ

_f を定めると、λf は

P

₀

(S)

上の付値になる。fが恒等的に

1

の場

合は、λf は例

1.1.2

で定めた元の個数

#

に一致する。

(3) S

上の実数値関数全体の成す実ベクトル空間を

F (S)

で表す。このとき

Λ : F (S) → Val(P

₀

(S)) ; f 7→ λ

_f

は線形同型写像になる。

1.2 Groemer

_{の積分定理}

定義

1.2.1

集合

S

の部分集合

A

に対して、Aの特性関数

I

_Aを

I

_A

(s) =

{

1 (s ∈ A) 0 (s / ∈ A)

によって定める。Sの部分集合からなる束

L

の元の特性関数の線形結合

(1.2.4) f =

∑

k i=1

α

_i

I

_A_i

(α

_i

∈ R , A

_i

∈ L)

を

L

単純関数、または単に単純関数と呼ぶ。

(8)

1.2. Groemer

の積分定理

5

命題

1.2.2

特性関数は次の性質を持つ。

I

_A_∩_B

= I

_A

I

_B

, (1.2.5)

I

_A_∪_B

= I

_A

+ I

_B

− I

_A

I

_B

= 1 − (1 − I

_A

)(1 − I

_B

).

(1.2.6)

L

を束とすると、L単純関数の全体は代数の構造を持つ。

証明

(1.2.5)

は特性関数の定め方よりわかる。

I

_A_∪_B

= I

_A

+ I

_B

− I

_A_∩_B

= I

_A

+ I

_B

− I

_A

I

_B となり、S

− A ∪ B

の特性関数を考えると、

1 − I

_A_∪_B

= (1 − I

_A

)(1 − I

_B

).

これらより、(1.2.6)もわかる。

(1.2.5)

と

(1.2.6)

より、L単純関数の積と和はまた

L

単純関数になる。さらに、

定義より

L

単純関数の実数倍も

L

単純関数になる。したがって、L単純関数の全体は代数の構造を持つ。

命題

1.2.3

特性関数は次の性質を持つ。

I

_A₁_∪···∪_A_n

=1 − (1 − I

_A₁

)(1 − I

_A₂

) · · · (1 − I

_A_n

) (1.2.7)

=

∑

n k=1

( − 1)

^k⁻¹

∑

i1<···<ik

I

_A_i

1∩···∩A_ik

.

これも包除公式と呼ぶ。

証明

(1.2.5)

と

(1.2.6)

を繰り返し使うことにより

(1.2.7)

を得る。

(1.2.7)

は

n = 1

のときは自明な等式になり、n

= 2

のときは

(1.2.6)

に一致する。一般の

n

については、

S − A

₁

∪ · · · ∪ A

_n

= (S − A

₁

) ∩ · · · ∩ (S − A

_n

)

の特性関数を考えることによって、

1 − I

_A₁_∪···∪_A_n

= (1 − I

_A₁

)(1 − I

_A₂

) · · · (1 − I

_A_n

)

が成り立つことがわかる。これより

I

A1∪···∪An

= 1 − (1 − I

A1

) · · · (1 − I

An

)(1 − I

An+1

).

もう一つの等式は

1 − (1 − I

_A₁

) · · · (1 − I

_A_n

)

=1 − {

1 −

∑

n k=1

( − 1)

^k⁻¹

∑

i1<···<ik

I

_A_i

1

· · · I

_A_ik

}

(9)

=

∑

n k=1

( − 1)

^k⁻¹

∑

i1<···<ik

I

_A_i

1

· · · I

_A_ik

=

∑

n k=1

( − 1)

^k⁻¹

∑

i1<···<ik

I

_A_i

1∩···∩A_ik

よりわかる。

定理

1.2.4 (Groemer

の積分定理

)

集合

S

の部分集合族

G

は有限個の共通部分に関して閉じていて、µは

G

上の付値であるとする。このとき、次の条件は同値になる。

(1) µ

は

[G]

上の付値に一意的に拡張できる。

(2) µ

は次の包除等式を満たす。すべての

n ≥ 2

と

B

_i

, B

₁

∪ B

₂

∪ · · · ∪ B

_n

∈ G

を満たす

B

_iに対して

(1.2.8) µ(B

₁

∪ B

₂

∪ · · · ∪ B

_n

) =

∑

n k=1

( − 1)

^k⁻¹

∑

i1<···<ik

µ(B

_i₁

∩ · · · ∩ B

_i_k

).

(3) [G]

単純関数の

µ

に関する積分を次のように定めることができる。

[G]

単純関

数

f = α

₁

I

_A₁

+ · · · + α

_k

I

_A_k

(α

_i

∈ R , A

_i

∈ G)

に対して

(1.2.9)

∫

f dµ =

∑

k i=1

α

_i

µ(A

_i

)

によって積分を定める。

証明

(1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (1)

の順序で証明する。

(1) ⇒ (2) µ

は

[G]

上の付値に拡張できるので、(1.1.1)より

(1.1.3)

を得る。したがって、(2)が成り立つ。

(2) ⇒ (3) (1.2.9)

による積分の定め方が

[G]

単純関数の表示に依存しないことを証明する。空ではなく互いに異なる

K

1

, . . . , K

m

∈ G

と

0

ではない実数

α

1

, . . . , α

m

が存在し、

∑

m i=1

α

_i

I

_K_i

= 0, (1.2.10)

∑

m i=1

α

_i

µ(K

_i

) 6 = 0 (1.2.11)

が成り立つと仮定する。

L

₁

= K

₁

, . . . , L

_m

= K

_mとおき、

L

_m+1

= K

₁

∩ K

₂

, L

_m+2

=

K

₁

∩ K

₃

, . . .

と二つの共通部分、三つの共通部分、...と

K

_iのすべての組合せの共

(10)

1.2. Groemer

の積分定理

7

通部分を

L

_iで表し、そのすべてを

L

₁

, . . . , L

_p

(p = 2

^m

− 1)

とする。Gは有限個の共通部分に関して閉じているという前提から、すべての

i

について

L

_i

∈ G

が成り立つ。さらに

{ L

₁

, . . . , L

_p

}

も

i, j

について

max { i, j } ≤ k

が存在して

L

_i

∩ L

_j

= L

_k が成り立ち、共通部分に関して閉じていることに注意しておく。

C :=

{

(c

₁

, . . . , c

_p

)

∑

p i=1

c

_i

I

_L_i

= 0,

∑

p i=1

c

_i

µ(L

_i

) 6 = 0 }

について考える。L1

= K

₁

, . . . , L

_k

= K

_kだから

(α

₁

, . . . , α

_m

, 0, . . . , 0)

は

C

に含まれ、Cは空ではない。

q := max

(ci)∈C

min { i | c

_i

6 = 0 }

とおいて、qを与える

(c

_i

) ∈ C

をとる。すると

∑

p i=q

c

_i

I

_L_i

= 0, c

_q

6 = 0, (1.2.12)

∑

p i=q

c

_i

µ(L

_i

) 6 = 0 (1.2.13)

が成り立つ。このとき、q

= p

とはならないことがわかる。なぜならば、qの定め方より

c

1

= · · · = c

q−1

= 0

となるので、(1.2.12)は

c

_q

I

_L_q

+ · · · + c

_p

I

_L_p

= 0

と書ける。もし

q = p

ならば、

c

p

I

Lp

= 0

が成り立つ。さらに

(1.2.13)

より

c

p

µ(L

p

) 6 = 0

となって矛盾する。よって

q < p

となる。次に

L

q

⊂ L

q+1

∪ · · · ∪ L

p

となることを示す。もしそうならないとすると、ある

x ∈ L

_q

− (L

_q+1

∪· · ·∪ L

_p

)

が存在することになる。このとき、ILq

(x) = 1, I

_L_i

(x) = 0 (i > q)

が成り立ち、

(1.2.12)

に

x

を代入すると

c

_q

= 0

となり矛盾。よって、Lq

⊂ L

_q+1

∪ · · · ∪ L

_pとなり、

L

_q

= L

_q

∩ (L

_q+1

∪ · · · ∪ L

_p

)

= (L

_q

∩ L

_q+1

) ∪ · · · ∪ (L

_q

∩ L

_p

)

を得る。µと特性関数はともに包除等式を満たすので、上記等式より

µ(L

_q

) = ∑

q<i≤p

µ(L

_q

∩ L

_i

) − ∑

q<i<j≤p

µ(L

_q

∩ L

_i

∩ L

_j

) + − · · · , I

_L_q

= ∑

q<i≤p

I

_L_q_∩_L_i

− ∑

q<i<j≤p

I

_L_q_∩_L_i_∩_L_j

+ − · · ·

(11)

が成り立つ。右辺に現れる

L

_q

, L

_q+1

, . . . ,

の共通部分はいずれもある

s > q

によって

L

_sと表される。よってある係数

d

_sが存在して

I

_L_q

= ∑

s>q

d

_s

I

_L_s

, (1.2.14)

µ(L

_q

) = ∑

s>q

d

_s

µ(L

_s

) (1.2.15)

が成り立つ。(1.2.14)と

(1.2.15)

を

(1.2.12)

と

(1.2.13)

に代入すると、c1

= · · · = c

q−1

= 0

であることから、(1.2.12)と

(1.2.13)

と同じ形であって添字が

q

より大きい式が得られる。これは

q

の最大性に矛盾する。したがって、

∑

m i=1

α

i

I

Ki

= 0 ⇒

∑

m i=1

α

i

µ(K

i

) = 0

が成り立つ。

単純関数が

a

₁

I

_X₁

+ a

₂

I

_X₂

+ · · · + a

_m

I

_X_m

= b

₁

I

_Y₁

+ b

₂

I

_Y₂

+ · · · + b

_n

I

_Y_n と二通りに表現されるとすると、

a

₁

I

_X₁

+ a

₂

I

_X₂

+ · · · + a

_m

I

_X_m

− b

₁

I

_Y₁

− b

₂

I

_Y₂

− · · · − b

_n

I

_Y_n

= 0

となり、

a

1

µ(X

1

) + a

2

µ(X

2

) + · · · + a

m

µ(X

m

) − b

1

µ(Y

1

) − b

2

µ(Y

2

) − · · · − b

n

µ(Y

n

) = 0

すなわち、

a

₁

µ(X

₁

) + a

₂

µ(X

₂

) + · · · + a

_m

µ(X

_m

) = b

₁

µ(Y

₁

) + b

₂

µ(Y

₂

) + · · · + b

_n

µ(Y

_n

)

を得る。これより

µ

は

[G]

上の積分を定め、(3)が成り立つ。

(3) ⇒ (1) µ

は

[G]

単純関数の空間上の積分を定めるので

˜ µ(A) =

∫

I

A

dµ (A ∈ L)

によって

µ ˜

の

[G]

上の値を定めることができる。A

∈ G

に対して

˜ µ(A) =

∫

I

_A

dµ = µ(A)

となり、˜

µ

は

µ

の

[G]

への拡張になっている。(1.2.5)、(1.2.6)と積分の線形性より

A, B ∈ [G]

に対して

˜

µ(A ∪ B) =

∫

I

_A_∪_B

dµ =

∫

(I

_A

+ I

_B

− I

_A_∩_B

)dµ

=

∫

I

_A

dµ +

∫

I

_B

dµ −

∫

I

_A∩B

dµ

= ˜ µ(A) + ˜ µ(B) − µ(A ˜ ∩ B)

(12)

1.2. Groemer

の積分定理

9

となって

µ ˜

は

[G]

上の付値になる。包除公式

(1.1.3)

より拡張は一意的になり、(1) が成り立つ。

(13)

第 2 章閉区間塊の内在的体積

2.1

_閉区間塊

定義

2.1.1 R

ⁿの部分集合

[a

₁

, b

₁

] × · · · × [a

_n

, b

_n

] (a

_i

, b

_i

∈ R , a

_i

≤ b

_i

)

を

R

ⁿの閉区間と呼ぶ。Rⁿの閉区間全体を

I

₀

(n)

で表す。閉区間の次元を

dim([a

1

, b

1

] × · · · × [a

n

, b

n

]) = # { i | a

i

6 = b

i

}

によって定める。

R

の閉区間

I

_i

, J

_iに対して

(I

₁

× · · · × I

_n

) ∩ (J

₁

× · · · × J

_n

) = (I

₁

∩ J

₁

) × · · · × (I

_n

∩ J

_n

)

となるので、I0

(n)

は有限個の共通部分に関して閉じている。閉区間の有限個の合併を閉区間塊と呼ぶ。

R

ⁿの閉区間塊全体を

I(n)

で表すと、I(n)は

I

₀

(n)

の生成する束

[I

₀

(n)]

になる。

定理

2.1.2 (I(n)

に関する

Groemer

の拡張定理)

I

₀

(n)

上の付値は

I(n)

上の付値に一意的に拡張できる。

証明

µ

を

I

0

(n)

上の付値とする。定理

1.2.4

より、µに関する積分が存在することを示せばよい。これを次元

n

に関する帰納法で証明する。n

= 0

の場合は明らかに定理は成り立つ。そこで、n

≥ 1

として

n − 1

次元以下の場合に定理は成り立つと仮定する。µに関する積分が存在しないと仮定して矛盾を導く。ある

P

₁

, . . . , P

_m

∈ I

₀

(n)

と

α

₁

, . . . , α

_m

∈ R

が存在して

∑

m i=1

α

_i

I

_P_i

= 0, (2.1.1)

∑

m i=1

α

_i

µ(P

_i

) = C 6 = 0 (2.1.2)

を満たすとする。

k = # { i | dim P

_i

= n }

(14)

2.1.

閉区間塊

11

とおく。(2.1.1)と

(2.1.2)

を満たす

P

₁

, . . . , P

_m

∈ I

₀

(n)

のうちで、kが最小になるようにとっておく。

k = 0

とする。これは

(2.1.1)

と

(2.1.2)

を満たす

P

₁

, . . . , P

_m

∈ I

₀

(n)

を

dim P

_i

≤ n − 1

となるようにとれることを意味する。そこでさらに、(2.1.1)と

(2.1.2)

を満たす

P

₁

, . . . , P

_mを含む超平面の個数が最小になるように

P

₁

, . . . , P

_mを選び、これらを含む超平面の個数を

l

とする。定め方より

l ≥ 1

である。

l = 1

とすると、n

− 1

次元の帰納法の仮定に矛盾するので、l >

1

となる。

P

₁

, . . . , P

_mを含む超平面を

H

₁

, . . . , H

_lとする。すなわち

P

_i

⊂ H

₁

∪ · · · ∪ H

_l

(i = 1, . . . , m)

となっている。ここで、各

H

j は閉区間

P

iを含むので、座標軸に垂直になるようにとれることに注意しておく。IPi

· I

_H₁

= I

_P_i_∩_H₁ に注意して、(2.1.1)に

I

_H₁ をかけると

(2.1.3)

∑

m i=1

α

_i

I

_P_i_∩_H₁

= 0

を得る。Pi

∩ H

₁は

n − 1

以下の次元の閉区間になるので、n

− 1

次元の帰納法の仮定より

(2.1.4)

∑

m i=1

α

_i

µ(P

_i

∩ H

₁

) = 0

が成り立つ。(2.1.1)

− (2.1.3)

は

(2.1.5)

∑

m i=1

α

_i

I

_P_i

−

∑

m i=1

α

_i

I

_P_i_∩_H₁

= 0.

(2.1.2) − (2.1.4)

は

(2.1.6)

∑

m i=1

α

_i

µ(P

_i

) −

∑

m i=1

α

_i

µ(P

_i

∩ H

₁

) = C.

(2.1.5)

と

(2.1.6)

において

P

_i

⊂ H

₁となる

i

が存在しなければ、

P

_i

⊂ H

₂

∪ · · · ∪ H

_l

(i = 1, . . . , m)

となって

l

の最小性に反するので、Pi0

⊂ H

1 となる

i

0 が存在する。このとき、

P

_i₀

∩ H

₁

= P

_i₀ が成り立ち、(2.1.5)において

α

_i₀

I

_P_i

0

− α

_i₀

I

_P_i

0∩H1

= 0

が成り立ち、

(2.1.6)

において

α

_i₀

µ(P

_i₀

) − α

_i₀

µ(P

_i₀

∩ H

₁

) = 0

が成り立つ。そこで、

N

₁

= { 1, . . . , m } − { i | P

_i

⊂ H

₁

}

(15)

とおくと、

i ∈ N

₁に対して

P

_iは

H

₂

, . . . , H

_lに含まれる。さらに

(2.1.5)

と

(2.1.6)

は

∑

i∈N1

α

_i

I

_P_i

+ ∑

i∈N1

( − α

_i

)I

_P_i_∩_H₁

= 0,

∑

i∈N1

α

_i

µ(P

_i

) + ∑

i∈N1

( − α

_i

)µ(P

_i

∩ H

₁

) = C 6 = 0.

と書くことができ、Pi

, P

_i

∩ H

₁

(i ∈ N

₁

)

は

H

₂

, . . . , H

_lに含まれるため

l

の最小性に反する。これは

k = 0

という仮定から矛盾が起こったので、k

≥ 1

が成り立つ。

k ≥ 1

は、(2.1.1)と

(2.1.2)

を満たす

P

1

, . . . , P

mには

n

次元のものが存在することを意味する。必要なら順番を変えて、P1

, . . . , P

_kは

n

次元で、Pk+1

, . . . , P

_mは

n

より低い次元になるようにしておく。超平面

H

を

P

₁

∩ H

が

P

₁の面になり、Hが定める閉半空間

H

⁺

, H

⁻のうち

P

1

⊂ H

⁺となるようにする。(2.1.1)に

I

H をかけると次の等式を得る。

∑

m i=1

α

i

I

Pi∩H

= 0.

同様に

(2.1.1)

に

I

_H⁺と

I

_H−をかけると次の等式を得る。

∑

m i=1

α

_i

I

_P_i_∩H⁺

= 0,

∑

m i=1

α

_i

I

_P_i_∩H−

= 0.

µ

が付値であることから

∑

m i=1

α

_i

µ(P

_i

) =

∑

m i=1

α

_i

µ((P

_i

∩ H

⁺

) ∪ (P

_i

∩ H

⁻

))

=

∑

m i=1

α

_i

µ(P

_i

∩ H

⁺

) +

∑

m i=1

α

_i

µ(P

_i

∩ H

⁻

) −

∑

m i=1

α

_i

µ(P

_i

∩ H).

n − 1

次元の帰納法の仮定と

∑

m i=1

α

_i

I

_P_i_∩_H

= 0

より

∑

m

i=1

α

_i

µ(P

_i

∩ H) = 0

を得る。

P

₁

∩ H

は

P

₁ の面になっていて

P

₁

⊂ H

⁺だから、dim

P

₁

= n

に注意すると、

dim(P

₁

∩ H

⁻

) = n − 1

となり、

# { i | dim(P

_i

∩ H

⁻

) = n } ≤ k − 1.

さらに

∑

m

i=1

α

_i

I

_P_i_∩_H−

= 0

(16)

2.1.

閉区間塊

13

が成り立っているので、kの最小性より

∑

m i=1

α

_i

µ(P

_i

∩ H

⁻

) = 0

を得る。以上より

∑

m i=1

α

_i

µ(P

_i

∩ H

⁺

) =

∑

m i=1

α

_i

µ(P

_i

) = C.

改めて

2n

個の超平面

H

₁

, . . . , H

_2nを

P

1

=

∩

2n i=1

H

_i⁺

を満たすようにとる。H1

, . . . , H

_2nについて上記の超平面

H

に関する議論を繰り返

すと

∑

m

i=1

α

_i

µ(P

_i

∩ H

₁⁺

∩ · · · ∩ H

_2n⁺

) = C

を得る。すなわち

∑

m i=1

α

_i

µ(P

_i

∩ P

₁

) = C

となる。(2.1.1)に

I

_P₁ をかけると

∑

m i=1

α

i

I

Pi∩P1

= 0

を得る。n次元の閉区間

P

₂

, . . . , P

_kについても同様の操作を繰り返すと

∑

m i=1

α

i

I

Pi∩P1∩···∩P_k

= 0,

∑

m i=1

α

i

µ(P

i

∩ P

1

∩ · · · ∩ P

k

) = C.

D = P

₁

∩ · · · ∩ P

_kとおくと

D ∈ I

₀

(n)

となる。上の等式は

∑

m i=1

α

i

I

Pi∩D

= 0,

∑

m i=1

α

i

µ(P

i

∩ D) = C

となる。1

≤ i ≤ k

のとき

P

_i

∩ D = D

となるので、k

≥ 2

ならば

k

の最小性に反する。よって

k = 1

となる。このとき、(2.1.1)は

α

₁

I

_P₁

+

∑

m i=2

α

_i

I

_P_i

= 0

(17)

となる。左辺の第二項は

n − 1

次元以下の閉区間の単純関数になり、これが

− α

₁

I

_P₁ と等しくなることはないので、矛盾が起こる。したがって、(2.1.1)と

(2.1.2)

を同時に満たす閉区間は存在しないことになり、µに関する積分が存在することがわかる。

2.2 Hausdorﬀ

距離

x, y ∈ R

ⁿについて

d(x, y) = | x − y |

によって

R

ⁿに距離を定める。x

∈ R

ⁿと部分集合

A ⊂ R

ⁿに対して

d(x, A) = inf

y∈A

d(x, y)

によって

x

と

A

の距離を定める。

補題

2.2.1 x ∈ R

ⁿと

A ⊂ R

ⁿに対して、d(x, A) = 0の必要十分条件は

x ∈ A ¯

である。

証明

x ∈ A ¯

であることと任意の

> 0

に対して

d(x, y) <

を満たす

y ∈ A

が存在することは同値になる。さらに、これは

d(x, A) = inf

y∈A

d(x, y) = 0

と同値になる。

定義

2.2.2

有界部分集合

K, L ⊂ R

ⁿに対して

Hausdorﬀ

距離

δ(K, L)

を

(2.2.7) δ(K, L) = max

( sup

a∈K

d(a, L), sup

b∈L

d(b, K) )

によって定める。

補題

2.2.3 K, L ⊂ R

ⁿがコンパクトのとき、

δ(K, L) = 0

の必要十分条件は

K = L

である。

証明

δ(K, L)

の定め方より

δ(K, L) = 0

の必要十分条件は

sup

a∈K

d(a, L) = sup

b∈L

d(b, K ) = 0

である。さらにこれは任意の

a ∈ K

について

d(a, L) = 0、すなわち a ∈ L ¯ = L、

かつ、任意の

b ∈ L

について

d(b, K) = 0、すなわち b ∈ K ¯ = K

と同値になる。

よってこれは

K = L

を意味しているので、補題の結論が得られる。

(18)

2.2. Hausdorﬀ

距離

15 R

ⁿの単位球体を

B

ⁿで表す。コンパクト集合

K ⊂ R

ⁿと

≥ 0

に対して

K + B

ⁿ

= { x + u | x ∈ K, u ∈ B

ⁿ

}

によって

K + B

ⁿを定める。

補題

2.2.4 K, L ⊂ R

ⁿをコンパクト部分集合とする。このとき、

K + B

ⁿ

= { x ∈ R

ⁿ

| d(x, K ) ≤ }

が成り立つ。さらに、δ(K, L)

≤

の必要十分条件は、K

⊂ L + B

ⁿ

, L ⊂ K + B

ⁿ が成り立つことである。

証明まず最初の等式を証明する。任意の

x ∈ K + B

ⁿは

y ∈ K

と

u ∈ B

ⁿによって

x = y + u

と表せる。これより

| x − y | ≤

となり

d(x, K) ≤

を得る。よって、x

∈ { z ∈ R

ⁿ

| d(z, K) ≤ }

が成り立つ。逆に

x ∈ R

ⁿが

d(x, K) ≤

を満たすと仮定する。任意の自然数

m

について

| x − y

_m

| ≤ + 1/m

を満たす

y

_m

∈ K

が存在する。Kはコンパクトだらか収束部分列

y

_m⁰ をとることができ、その極限

y

は

K

に含まれる。このとき、|

x − y | ≤

が成り立ち、x

− y = u

によって

u ∈ B

ⁿを定めると、x

∈ K + B

ⁿが成り立つ。以上で

K + B

ⁿ

= { x ∈ R

ⁿ

| d(x, K ) ≤ }

が成り立つことがわかった。

後半の主張は次のようにわかる。

δ(K, L) ≤

⇔ sup

a∈K

d(a, L) ≤ , sup

b∈L

d(b, K ) ≤

⇔∀ a ∈ K d(a, L) ≤ , ∀ b ∈ L d(b, K ) ≤

⇔ K ⊂ L + B

ⁿ

, L ⊂ K + B

ⁿ

.

R

ⁿのコンパクト部分集合全体を

C

ⁿで表す。

定理

2.2.5 δ

は

C

ⁿ上の距離になる。

証明任意の

K, L ∈ C

ⁿに対して

δ(K, L) = δ(L, K) ≥ 0

が成り立つことは定義より直接わかる。

補題

2.2.4

より

δ(K, L) = 0 ⇔ K ⊂ L, L ⊂ K ⇔ K = L.

||||{ 凸体の付値

I

————–